O artigo que se segue é da autoria de um convidado especial deste blogue, o novo colaborador d'O Pico do Petróleo blogue é autor e editor do sítio Pico do Petróleo ponto net:

A Matemática do Pico de Hubbert

No artigo de 1956 "Nuclear Energy and the Fossil Fuels", em que previu o pico de produção nos EUA, Hubbert apresentou 80 páginas de equações diferenciais para chegar às suas conclusões. Tal valeu-lhe algumas críticas, o método era tão complexo que mais parecia um monolito impenetrável, que só aqueles com profunda formação matemática tinham o previlégio de enteder.

Baseando-se em alguns trabalhos da área da biologia da década de 1960, Hubbert apresentou em 1982 no artigo "Techniques of Prediction as Applied to the Production of Oil and Gas" um método alternativo, bem mais acessível. Este método está descrito muito claramente no livro do professor Kenneth Deffeyes "Beyond Oil ". O que se segue é uma adpatação do texto deste livro usando dados disponíveis on-line.

Estados Unidos

Para se determinar o Pico de Hubbert são necessários dois conjuntos de informação, a produção anual, a que se chama de P, e a produção comulativa (o total de petróleo produzido desde o primeiro ano de exploração até ao ano em causa), identificada por Q. Para começar vamos aplicar este método ao caso dos 48 estados continentais dos EUA, que como sabemos tiveram o seu pico em 1971. A produção anual para estes estados encontra-se disponível na página da Administração de Informação de Energia (EIA - Energy Information Administration). A produção comulativa não está disponível aqui, mas podemos usar o valor publicado no boletim nº 23 da ASPO, que para 2001 indica uma produção comulativa de 169 Giga-barris.

Agora com o auxílio de uma folha de cálculo determinamos para cada ano o valor de P/Q. Em seguida traçamos o gráfico de P/Q contra Q, que apresenta o seguinte aspecto:



Nos primeiros anos o gráfico apresenta-se algo desordeiro mas a partir de 1958 os pontos tomam uma tendência de declive negativo. Vamos agora ajustar uma recta usando estes pontos a partir de 1958, com a forma:

Y = mX + a

Neste caso Y é P/Q e X corresponde a Q, a é o valor de P/Q onde Q é zero e m é declive da recta. Neste caso particular a recta ajustada aos pontos tem o valor de 0.061 para a e -3x10E-4 para m. Com esta recta podemos determinar o valor de Q para o qual P/Q é zero, que neste caso é 198.395, e ao qual se chama Qt. Este valor é a produção comulativa máxima que alguma vez será produzida, sabendo que o pico se dá exactamente quando metade da produção comulativa está completa temos o pico 1973, com 99.198 Giga-barris produzidos.



A teoria de Hubbert é simplesmente a assumpção de que a relação entre P/Q e Q segue uma recta, tudo o resto é pura matemática. Vamos resolver a equação da recta em relação a P para ver o que acontece:

P/Q = mQ + a
P/Q = aQ/Qt + a
P/Q = a(1 - Q/Qt)
P = a(1 - Q/Qt)Q

A parte que está dentro dos perêntesis (1 - Q/Qt) é a fracção do petróleo total que está por produzir, quer isto dizer que a capacidade que temos para produzir petróleo num dado momento depende linearmente da quantidade que ainda existe disponível para produzir. A equação de baixo corresponde a uma curva logística, que tem a forma de uma sino.

Para vermos esta curva temos que usar outra vez a nossa folha de cálculo. Primeiro determinamos a equação de 1/P:

1/P = 1/[a(1 - Q/Qt)Q]


Com 1/P agora temos anos por Gigabarril em vez de Gigabarris por ano. Voltamos à folha de cálculo e criamos uma nova coluna para Q que preenchemos com incrementos de 1 em 1 até chegarmos a Qt. Noutra coluna calculamos o valor de 1/P e noutra P, com as expressões que determinámos antes. Por fim temos que ajustar a esta relação o tempo, o que é fácil sabendo que no final de 2001 estavam produzidos 169 Giga-barris. Na linha em que Q tem este valor acrescentamos noutra coluna o tempo, com o valor de 2002, para as outras linhas basta subtrair ou somar progressivamente o valor de 1/P. O resultado é parecido com esta tabela:



E por fim traçamos o gráfico com o Tempo no eixo dos xx e P no eixo dos yy; convém tambem adicionar os dados reais:



Nem ficou muito mal, pois não?


Mundo

Para o Mundo inteiro podemos usar os dados publicados pela BP na BP Statistical Review, com a produção desde 1965 até hoje. Mais uma vez para os valores comulativos temos de recorrer aos boletins da ASPO, que para 2004 indicam uma produção comulativa de 1040 Giga-barris. Ao passo que os dados que vimos para os Estados Unidos se referiam apenas ao petróleo convencional, estes dados da BP incorporam também a produção a partir de areais betuminosas, petróleo pesado e o Gás Natural Líquido (GNL). Vejamos o gráfico de P/Q contra Q:



Temos outra vez um início caótico mas a partir de 1983 a evolução torna-se bastante suave, seguindo uma tendência bem definida. Agora ajustamos recta como anteriormente e temos isto:



A equação da recta neste caso é P/Q = -2.36x10E-5 Q + 0.051, o que resulta no valor de 2164.86 para Qt. E pronto a magia está feita, resta agora fazer outra vez as contas para chegarmos ao gráfico que mais gostamos, o da produção em relação ao tempo:




Tudo isto para chegarmos à conclusão que aplicando o método de Hubbert aos dados disponíveis até 2004, temos o pico de produção petrolífera no Solestício de Verão de 2006.


Conclusões

Sabendo agora como se aplica o método de Hubbert podemos também perceber as razões por detrás das diferentes datas que aparecem associadas ao Pico do Petróleo. As diferença têm a haver sobretudo com os dados que usamos:

* Se considerarmos apenas o petróleo convencional temos o pico em 2004, como vem indicado nos boletins da ASPO.

* Usando toda a produção petrolífera de petróleo excluíndo as areias betuminosas e o gás natural, temos o pico no final de 2005. São estes os dados que usa o professor Deffeyes no seu livro.

* Como vimos atrás, juntando os dados de todos os líquidos o pico passa para o meio de 2006. Em modelos mais antigo esta data pode ser por vezes 2007, além de que pequenas diferenças nos valores de a ou m podem deslocar o pico alguns meses.

* Os estudos que apontam o pico para depois de 2010 não usam este método, normalmente são consideradas as taxas de declínio de cada campo e as produções previstas em campos ainda em desenvolvimento. Estes estudos são normalmento chamados de análises de baixo para cima.

* Por último convém mencionar o modelo publicado pela ASPO, da responsabilidade do Dr. Colin Campbell e do Grupo de Estudo do Esgotamento dos Hidrocarbonetos da Universadade de Uppsala, liderado pelo professor Kjell Aleklett. Actualmente o ano apontado para o pico é 2010, e aparenta ser a combinação do modelo de Hubbert com uma análise de baixo para cima, que considera uma grande evolução na exploração marítima de alta profundidade.

De todos estes modelos o do professor Deffeyes deverá ser o mais importante. Existe uma grande diferença do petróleo convencional para os outros petróleos, a facilidade com que é extraído do sub-solo. Portanto, a produção global até pode continuar a crescer mais alguns anos, mas à custa de recursos mais difíceis de explorar, logo mais caros. O petróleo barato pode ser já hoje uma coisa do passado.

O professor Deffeyes aproveitou no seu livro para criar uma data simbólica para o Pico do Petróleo, o dia de Acção de Graças de 2005, a 24 de Novembro. É uma boa altura para dar graças pelo século e meio de petróleo barato que a Natureza nos proporcionou. E é a altura de uma vez por todas enfrentar este desafio, que sem dúvida é o maior com que a Humanidade jamais se deparou.
Agradecimentos

Um agradecimento muito especial ao Paul Thompson do WolfAtTheDoor.org.uk pelos dados de produção anteriores a 1965.

Pelo Autor e Editor de PicoDoPetróleo.net